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过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1,y1)P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,求|P1P2|的值.
分析:先根据抛物线方程求出焦点坐标,进而可设出直线方程,然后联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程,根据韦达定理得到两根之和与两根之积,再由两点间的距离公式表示出|P1P2|,将得到的两根之和与两根之积即可得到答案.
解答:解:x2=4y的焦点为(0,1),设过焦点(0,1)的直线为y=kx+1
则令kx+1=
x2
4
,即x2-4kx-4=0
由韦达定理得x1+x2=4k,x1x2=-4
y1=kx1+1,y2=kx2+2
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2=6,所以k2=1
所以|AB|=|x1-x2|
k2+1
=
(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=
2(16k2+16)
=
2×32
=8.
点评:本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用.考查简单性质的综合应用.直线与圆锥曲线是高考的重点,每年必考,要着重复习.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

过抛物线x2=4y的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧),则
|AF||FB|
=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1、y1),P2(x2、y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|的值为(  )
A、5B、6C、8D、10

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(I)若
AP
PB
(λ∈R)
,证明:λ=-
x1
x2

(II)在(I)条件下,若点Q是点P关于原点对称点,证明:
QP
⊥(
QA
QB
)

(III)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过抛物线x2=4y的焦点,斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A(x1,y2),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)若点C(x3,y3)是抛物线弧AB上的一点,求△ABC面积的最大值,并求出点C的坐标.

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