【题目】把一块边长为
的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为
.
（1）若
，且该容器的表面积为
时，在该容器内注入水，水深为
，若将一根长度为
的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于
处，另一端置于侧棱
上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的长度；
（2）求该容器的底面边长
的范围，使得该容器的体积始终不大于
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意
，表示出容器的高
，从而可以表示出容器的底面积
和侧面积
，根据容器的表面积为
，得到关于
的方程，从而得到的值，设玻璃棒在
上的交点为
，玻璃棒与水面交点为
，过作
交
于
，根据
得到
的值；
（2）表示出容器的体积
，根据
对
恒成立，利用导数求出的最大值，从而得到
的范围.
解：（1）由题意，则
，设该容器的高为，则
.
当
时，容器底面积
，
侧面积
，
所以容器表面积
，整理得
，
得
或
（舍）.
当玻璃棒一个端点置于
处，另一端置于侧棱上时，
如图，设玻璃棒在上的交点为，玻璃棒与水面交点为.
因为
为正六棱柱，所以四边形
为矩形，
在平面中，过作交于，如图所示，
因为
，
，则
，因为
，
所以即
，
所以
.
（2）设该容器的体积为，
.
因为该容器的体积始终不大于
，
所以
对恒成立.
即
对
恒成立，
令
，
，
令
得
，则
随变化的表格如下：
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| 增 | 最大值 | 减 |
.
所以
，得
，得.
答：该容器底面边长满足时，容器的体积始终不大于.
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【题目】如图，某地有一块半径为R的扇形AOB公园，其中O为扇形所在圆的圆心，AOB＝
，OA，OB，
为公园原有道路.为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在上选取一点M，新建道路OM及与OA平行的道路MN（点N在线段OB上），设AOM＝
.
（1）如何设计，才能使市民从点O出发沿道路OM，MN行走至点N所经过的路径最长？请说明理由；
（2）如何设计，才能使市民从点A出发沿道路
，MN行走至点N所经过的路径最长？请说明理由.
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【题目】设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，离心率为
， 在
轴负半轴上有一点
，且
（1）若过
三点的圆 恰好与直线
相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆C交于
两点，在轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出
的取值范围；如果不存在，说明理由．
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【题目】已知抛物线
的焦点为
，准线
与
轴交于点
，过点的直线交抛物线于
，
两点，点在第一象限.
若
，
，求直线
的方程；
若
，点
为准线上任意一点，求证：直线
，
，
的斜率成等差数列.
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【题目】若数列
满足
，且存在常数
，使得对任意的
都有
，则称数列为“k控数列”．
（1）若公差为d的等差数列是“2控数列”，求d的取值范围；
（2）已知公比为
的等比数列
的前n项和为
，数列与都是“k控数列”，求q的取值范围（用k表示）．
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【题目】某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射疫苗 | 30 |
|
|
注射疫苗 | 70 |
|
|
总计 | 100 | 100 | 200 |
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为
.
（Ⅰ）能否有
的把握认为注射此种疫苗有效？
（Ⅱ）在未注射疫苗且未感染病毒与注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分别抽取3只进行病例分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗情况进行核实，求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.
附：
，
，
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】设数列
的前
项和为
，且
.
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）设数列
的前
项和为
，求证： 
为定值；
（3）判断数列
中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
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【题目】某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出
、
两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于
时为废品，指标值在
为一等品，大于
为特等品．现把测量数据整理如下，其中配方废品有
件．
配方的频数分布表
质量指标值分组 |
|
|
|
|
|
频数 |
|
|
|
|
|
（1）求
，
的值；
（2）试确定配方和配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)
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【题目】意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是
，其中
，
.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
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