Question

15．已知向量 $\overrightarrow{m}$=（sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$Acosx，$\frac{A}{2}$cos2x）（A＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最大值为6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移$\frac{π}{12}$个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，$\frac{5π}{24}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；
（Ⅱ）通过函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律将函数y=f（x）的图象像左平移$\frac{π}{12}$个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，$\frac{5π}{24}$]求出函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$Asinxcosx+$\frac{A}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$Asin2x+$\frac{A}{2}$cos2x=A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
因为A＞0，由题意可知A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后得到，
y=6sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，
纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+$\frac{π}{3}$）的图象．因此g（x）=6sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
因为x∈[0，$\frac{5π}{24}$]，所以4x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时取得最大值6，4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$时函数取得最小值-3．
故g（x）在[0，$\frac{5π}{24}$]上的值域为[-3，6]．

点评 本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查计算能力．