分析 (Ⅰ)取PA中点F,连结BF,推导出四边形BCEF是平行四边形,由此能证明CE∥平面PAB.
(Ⅱ)推导出AC⊥BC,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C-PB-A的平面角的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)取PA中点F,连结BF,
∵E为PD中点,∴$EF\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$
又由已知$BC\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$,∴$EF\underline{\underline{∥}}BC$,
从而四边形BCEF是平行四边形…(3分)
∴EC∥BF,
又EC?平面PAB,BF?平面PAB,
∴CE∥平面PAB.…(7分)
解:(Ⅱ)∵AB=2,BC=1,∠ABC=60°,∴AC⊥BC,
如图所示以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(-1,$\sqrt{3}$,0),P(0,0,2),C(0,$\sqrt{3}$,0),
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n_1}=({x_1},{y_1},{z_1})$,
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-{x_1}+\sqrt{3}{y_1}=0\\ 2{z_1}=0\end{array}\right.$,
解得一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=(\sqrt{3},1,0)$…(10分)
设平面CPB的法向量为$\overrightarrow{n_2}=({x_2},{y_2},{z_2})$,
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-{x_2}+\sqrt{3}{y_2}-2{z_2}=0\\ \sqrt{3}{x_2}-2{y_2}=0\end{array}\right.$,
解得一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=(0,2,\sqrt{3})$,…(13分)
∵$cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$,
∴二面角C-PB-A的平面角的余弦值$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$.…(15分)
点评 本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 2 |
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A. | f′(3)<f′(4)<f(4)-f(3)<0 | B. | f′(3)<f(4)-f(3)<f′(4)<0 | C. | f′(4)<f(4)-f(3)<f′(3)<0 | D. | f(4)-f(3)<f′(4)<f′(3)<0 |
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