Question

15．判断函数$f（x）=\frac{1}{{{x^2}+1}}$在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 设0＜x₁＜x₂＜1，计算f（x₁）-f（x₂）并化简，判定f（x₁）与f（x₂）的大小关系，得出结论．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$在区间（0，1）上是减函数．
证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂²-x₁²＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$在区间（0，1）上是减函数．

点评 本题考查了函数单调性的判定与证明，属于基础题．