分析:(Ⅰ)方法一,对数列递推式变形,证明
{}是首项为-2,公差为-1的等差数列,从而可求求数列{a
n}的通项公式;
方法二,计算前几项,猜想通项,再利用数学归纳法进行证明;
(Ⅱ)设F(x)=ln(x+1)-x,证明函数F(x)为(0,+∞)上的减函数,可得ln(x+1)<x(x>0),从而
ln(1+)<,1-<1-ln(1+),进而可得结论.
解答:(Ⅰ)解:方法一:
an+1-1=-1=,
所以
==-1+. …(3分)
所以
{}是首项为-2,公差为-1的等差数列. …(4分)
所以
=-n-1,所以
an=. …(6分)
方法二:
a2=,
a3=,
a4=,猜测
an=. …(2分)
下用数学归纳法进行证明.
①当n=1时,由题目已知可知
a1=,命题成立; …(3分)
②假设当n=k(k≥1,k∈N)时成立,即
ak=,那么
当n=k+1,
ak+1===,
也就是说,当n=k+1时命题也成立. …(5分)
综上所述,数列{a
n}的通项公式为
an=. …(6分)
(Ⅱ)证明:设F(x)=ln(x+1)-x(x>0)
则
F′(x)=-1=<0(x>0)…(8分)
函数F(x)为(0,+∞)上的减函数,所以F(x)<F(0)=0,即ln(x+1)<x(x>0)
从而
ln(1+)<,1-<1-ln(1+),…(10分)
an=1-<1-ln(n+2)+ln(n+1),…(11分)
∴S
n<(1-ln3+ln2)+(1-ln4+ln3)+…+[1-ln(n+2)+ln(n+1)]…(13分)
∴
Sn<n-ln()…(14分)
点评:本题考查数列递推式,考查数列的通项与求和,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.