Question

（本小题满分14分）
在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明成等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记，证明.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

（本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（I）证明：由题设可知，，，，，
。
从而，所以，，成等比数列。
（II）解：由题设可得
所以

.
由，得 ，从而.
所以数列的通项公式为或写为，。
（III）证明：由（II）可知，，
以下分两种情况进行讨论：
（1）      当n为偶数时，设n=2m
若，则，
若，则


.
所以，从而
（2）      当n为奇数时，设。


所以，从而
综合（1）和（2）可知，对任意有