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如图,在五面体中,四边形是边长为的正方形,平面的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:平面
(3)求五面体的体积.
(1)详见解析;(2)详见解析;(3).

试题分析:(1)连接于点,取的中点,连接,先证明,再利用中位线证明,利用传递性证明,进而证明四边形为平行四边形,进而得到,最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面;(2)证法一是取的中点,先证明四边形为平行四边形得到,然后通过勾股定理证明从而得到,然后结合四边形为正方形得到,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面;证法二是连接于点,先利用勾股定理证明,利用得到,再利用等腰三角形中三线合一得到,利用直线与平面垂直的判定定理证明平面,进而得到,然后结合四边形为正方形得到,最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面;(3)将五面体分割为四棱锥与三棱锥,利用(2)中的结论平面得到平面从而计算三棱锥的体积,利用结论平面以及得到平面以此计算四棱锥的体积,最终将两个锥体的体积相加得到五面体的体积.
试题解析:(1)连接相交于点,则的中点,连接

的中点,

平面平面,平面平面
四边形为平行四边形,

平面平面平面
(2)证法1:取的中点,连接,则

由(1)知,,且四边形为平行四边形,

中,,又,得
中,
,即
四边形是正方形,
平面平面平面
证法2:在中,的中点,.
中,


平面平面平面
平面.
四边形是正方形,.
平面平面平面.

(3)连接
中,.
由(2)知平面,且平面.
平面平面.
四棱锥的体积为.
三棱锥的体积为.
五面体的体积为.
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