Question

已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=2．求证：直线DE过定点，并求出这个定点．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，求出

PC

，

BC

的坐标，代入满足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

整理即可得到点P的轨迹C对应的方程；
（2）把A的坐标代入点P的方程求出m的值，设出DE的方程，和抛物线方程联立后得到D、E两点横坐标的和与积，再由两点的斜率之积等于2得到关系式，和根与系数关系结合后可得直线DE的斜率和截距的关系，代回直线方程后利用直线系方程得到证明．

解答：（1）解：设P（x，y），代入足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，得

(x-1)2+y2

=1+x，化简得y²=4x；
（2）证明：将A（m，2）代入y²=4x，得m=1，
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
由

y=kx+b y2=4x

，得k²x²+2（kb-2）x+b²=0，
∵k_AD•k_AE=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2(x1，x2≠1)，
且y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，∴(k2-2)x1x2+(kb-2k+2)(x1+x2)+(b-2)2-2=0①
将x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

代入①得，b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
将b=k-2代入y=kx+b得，y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
将b=2-k代入y=kx+b得，y=kx+2-k=k（x-1）+2，过定点（1，2），不合，舍去，
∴定点为（-1，-2）．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，考查了直线系方程的运用，是有一定难度题目．