Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2 ， 上、下顶点分别为B2、B1 ， O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2= ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，

∴ ，即ab=2 ①

由题意可得直线A2B2方程为： ，即bx+ay﹣ab=0，

∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为 ，

∴圆心O到直线A2B2的距离为 ，即 ②

由①②解得：a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为：

（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，

∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③

由韦达定理：

∵直线OM，ON的斜率之积等于 ，

∴ ，

∴ ，

∴2m2=4k2+1满足③…（9分）

∴ ，

又O到直线MN的距离为 ， ，

所以△OMN的面积

若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称

设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则 ， ，

又∵M在椭圆上， ，∴ ，

所以△OMN的面积S= = =1．

综上可知，△OMN的面积为定值1

【解析】（Ⅰ）利用四边形A1B1A2B2为菱形，求出ab=2，圆心O到直线A2B2的距离为 ，列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0，利用韦达定理以及判别式，通过直线OM，ON的斜率之积等于 ，求出三角形的面积，若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），求解三角形的面积即可．