Question

解关于x的不等式x²-（a²+a）x+a³＜0．

Answer 1

解：x²-（a²+a）x+a³=（x-a）（x-a²）．
当a=0时，原不等式化为x²＜0，不等式的解集为∅；
当a=1时，原不等式化为（x-1）²＜0，不等式的解集为∅；
当0＜a＜1时，a²＜a，由x²-（a²+a）x+a³=（x-a）（x-a²）＜0，得：a²＜x＜a．
所以，原不等式的解集为{x|a²＜x＜a}；
当a＜0或a＞1时，a＜a²，由x²-（a²+a）x+a³=（x-a）（x-a²）＜0，得：a＜x＜a²．
所以，原不等式的解集为{x|a＜x＜a²}．
综上：当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a²＜x＜a}；
当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a²}．
分析：把不等式左边因式分解后发现，需要对a的取值进行讨论，因此，分a=0，a=1，0＜a＜1及a＜0或a＞1四种情况求解二次不等式，最后把不等式的解集分别下结论．
点评：本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，需要注意的是最后的结论不能取并集，此题是中档题．