Question

已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x+2|-a）．
（1）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法,指、对数不等式的解法

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）分类讨论，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

x≥1 x-1+x+2＞7

或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

，可得函数f（x）的定义域；
（2）不等式f（x）≥3，|x-1|+|x+2|≥a+8的解集为R，求出|x-1|+|x+2|的最小值，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）由已知得|x-1|+|x+2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

x≥1 x-1+x+2＞7

或

-2＜x＜1 -x+1+x+2＞7

或

x≤-2 -x+1-x-2＞7

，
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-4）∪（3，+∞）．

（2）不等式f（x）≥3，|x-1|+|x+2|≥a+8的解集为R
∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴a+8≤3，
即a≤-5．
所以a的取值范围是（-∞，-5]．

点评：本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．