Question

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM₁M₂M₃N与路径MN₁N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．

(Ⅰ)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；

(Ⅱ)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小．

Answer 1

答案：
解析：

　　答案：(Ⅰ)d＝|x－3|＋|y－20|，y≥0，x∈R．

　　(Ⅱ)当点P(x，y)满足P(3，1)时，其到三个居民区的“L路径”长度值和最小为45

　　解析：

　　(Ⅰ)，

　　，其中

　　(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识．

　　点P到A，B，C三点的“L路径”长度之和的最小值d＝水平距离之和的最小值h＋垂直距离之和的最小值v．且h和v互不影响．显然当y＝1时，v＝20＋1＝21；，水平距离之和h＝x－(－10)＋14－x＋|x－3|≥24，且当x＝3时，h＝24．因此，当P(3，1)时，d＝21＋24＝45．

　　所以，当点P(x，y)满足P(3，1)时，点P到A，B，C三点的“L路径”长度之和d的最小值为45．