分析 (1)由α-β的余弦值和α、β角的范围求出α-β的正弦值,由α+β的正弦值和范围,求出α+β的余弦值,要求的结论2α的正弦值,把2α变化为(α-β)+(α+β)的正弦值求解即可.
(2)由tanα和α角的范围求出α的正弦值和余弦值,由α、β角的范围求出β-α的正弦值和余弦值,把β变化为(β-α)+α的正弦值求解即可.
解答 解:(1)∵$cos(α-β)=\frac{12}{13}>0$,$\frac{π}{2}<β<α<\frac{3π}{4}$
∴$0<α-β<\frac{π}{4}$.
∴$sin(α-β)=\frac{5}{13}$.
∴$π<α+β<\frac{3π}{2}$.
又$sin(α+β)=-\frac{3}{5}$,∴$cos(α+β)=-\frac{4}{5}$.
∴sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)
=$-\frac{3}{5}×\frac{12}{13}-\frac{4}{5}×\frac{5}{13}=-\frac{56}{65}$.
(2)∵$\frac{π}{2}<α<π$且tanα=-$\frac{3}{4}$,∴$sinα=\frac{3}{5},cosα=-\frac{4}{5}$.
∵$\frac{π}{2}<α<π,0<β<\frac{π}{2}$,∴$-π<-α<-\frac{π}{2}$,-π<β-α<0.
又∵$cos({β-α})=\frac{5}{13}$,∴$sin({β-α})=-\frac{12}{13}$.
∴sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα
=$-\frac{12}{13}×({-\frac{4}{5}})+\frac{5}{13}×\frac{3}{5}=\frac{63}{65}$.
点评 本题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值,角的变换是解题的关键,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0 | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{3π}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | i≤2016 | B. | i>2016 | C. | i≤2015 | D. | i>2015 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$ | B. | 3或-2 | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $({-∞,\frac{19}{6}})$ | B. | $({-∞,\frac{3}{2}})$ | C. | $({-∞,\frac{9}{4}})$ | D. | (-∞,3) |
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