Question

【题目】近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）= ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：
（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得P（x）=12+10x，

则f（x）=Q（x）﹣P（x）=

即为f（x）=

（2）解：当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52万元

当0≤x≤16时，函数f（x）=﹣0.5x2+12x﹣12

=﹣0.5（x﹣12）2+60，

当x=12时，f（x）有最大值60万元．

所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．

【解析】1、根据题意可得f（x）=Q（x）﹣P（x），整理成最简的分段函数。
2、由函数的增减性可求得，当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52万元；再根据二次函数在指定区间上的最值求得，当0≤x≤16时，函数f（x）有最大值60万元，综上各式求得当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元。