Question

（2008•上海模拟）已知向量

m

∥

n

，其中

m

=(

1

x3+c-1

，-1)，

n

=(-1，y)（x，y，c∈R），把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ） 求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ） 已知数列{a_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n项和等于S_n²，”求数列{a_n}的通项式；
（Ⅲ） 若数列{b_n}满足bn=4n-a•2an+1(a∈R)，求数列{b_n}的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据向量平行得出函数y=f（x），再利用函数f（x）为奇函数，可求c=1，从而可得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ） 根据条件对于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n项和等于S_n²，写出两等式，两式相减可得∴{a_n}为公差为1的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）根据a_n=n（n∈N^*），可得b_n=4ⁿ-a•2ⁿ⁺¹=（2ⁿ-a）²-a²，由于2ⁿ≥2，故需对a进行分类讨论．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

∴

1

x3+c-1

•y-1=0⇒y=x3+c-1(x3+c-1≠0)，
因为函数f（x）为奇函数．所以c=1，⇒f（x）=x³（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=S_n²⇒a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²…..①
n≥2时∴a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²…②
由①-②可得：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（S_n+S_n-1），
∵{a_n}为正数数列∴a_n²=S_n+S_n-1…③…（2分）∴a_n+1²=S_n+1+S_n…④
由④-③可得：a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，…（2分）
且由①可得a₁³=a₁²，a₁＞0⇒a₁=1，a₁³+a₂³=S₂²，a₂＞0⇒a₂=2，∴a₂-a₁=1∴{a_n}为公差为1的等差数列，∴a_n=n（n∈N^*）…（2分）
（Ⅲ）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=4ⁿ-a•2ⁿ⁺¹=（2ⁿ-a）²-a²（n∈N^*）…（2分）
令2ⁿ=t（t≥2），∴b_n=（t-a）²-a²（t≥2）
（1）当a≤2时，数列{b_n}的最小值为：当n=1时，b₁=4-4a．…（2分）
（2）当a＞2时
①若a=2^k+1（k∈N^*）时，数列{b_n}的最小值为当n=k+1时，b_k+1=-a²．…（1分）
②若a=

2k+2k+1

2

(k∈N*)时，数列{b_n}的最小值为，当n=k或n=k+1时，b_k=b_k+1=（2^k-a）²-a²．…（1分）
③若2k＜a＜

2k+2k+1

2

(k∈N*)时，数列{b_n}的最小值为，当n=k时，b_k=（2^k-a）²-a²…（1分）
④若

2k+2k+1

2

＜a＜2k+1(k∈N*)时，数列{b_n}的最小值为，当n=k+1时，b_k+1=（2^k+1-a）²-a²．…（1分）

点评：本题的考点是数列与向量的综合，主要考查向量共线条件的运用，考查数列通项公式的求解，考查了函数的最值，关键是正确分类．