Question

某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．
（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万，根据总盈利=总收入-总投入，结合等差数列的前n项和公式，即可得到总盈利y关于年数n的函数表达式．进而根据二次函数的性质，得到结论．
（2）根据（1）中总盈利y关于年数n的函数表达式，根据年平均利润为

y

n

，结合基本不等式，即可得到年平均利润最大值，及对应的时间．

解答：解：（1）设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则
y=50n-98-[12×n+

n(n-1)

2

×4]=-2（n-10）²+102．（5分）
所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（6分）
（2）年平均利润为

y

n

=-2（n+

49

n

）+40≤-28+40=12．（10分）
当且仅当n=

49

n

，即n=7时，上式取等号．（11分）
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．（12分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式在最值问题中的应用，等差数列的前n项和，其中熟练掌握二次函数的性质，基本不等式等是解答函数最值类问题的关键．