Question

【题目】如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．

（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1DE；

（Ⅱ）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取D，E分别是AB，AC的中点，易证得平面A1DE∥平面B1BC，从而可证得B1C∥平面A1DE；

（Ⅱ）利用=-，分别由柱体和椎体体积公式求解即可.

（Ⅰ）证明：因为在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，

所以DE∥BC，A1B1∥BD，A1B1=BD，

所以四边形DBB1A1是平行四边形，所以A1D∥BB1，

因为A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，

A1D、DE平面A1DE，BB1、BC平面BCB1，

所以平面A1DE∥平面B1BC，

所以B1C平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．

（Ⅱ）因为AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，

AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．

所以AE=3，DE=1，B1E==，∠AED=90°，

所以四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：=-

=﹣==

==．