Question

（2009•闵行区二模）（理）斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且与抛物线交于两点A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）将直线AB按向量

a

=(-p，0)平移得直线m，N是m上的动点，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）设C（p，0），D为抛物线y²=2px（p＞0）上一动点，是否存在直线l，使得l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，
（2）设直线l的方程，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量坐标运算，求得

NA

•

NB

的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值．
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，再利用l被以CD为直径的圆截得的弦长恒为定值，求出p，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），p=2时，直线AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0（2分）
则x₁+x₂=6，由定义可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．（4分）
（2）直线AB：y=x-

p

2

，代入y²=2px（p＞0）中，可得：x2-3px+

1

4

p2=0
则x₁+x₂=3p，x1x2=

p2

4

，设N(x0，x0+

p

2

)，
则

NA

=(x1-x0，y1-x0-

p

2

)，

NB

=(x2-x0，y2-x0-

p

2

)
即

NA

•

NB

=x1x2-x0(x1+x2)+

x

2 0

+y1y2-(x0+

p

2

)(y1+y2)+(x0+

p

2

)2（2分）
由x1+x2=3p，x1x2=

p2

4

，y1y2=-p2，y1+y2=2p（4分）
则

NA

•

NB

=2

x

2 0

-4px0-

3

2

p2=2(x0-p)2-

7

2

p2
当x₀=p时，

NA

•

NB

的最小值为-

7

2

p2．                            （6分）
（3）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，
设CD的中点为O'，l与以CD为直径的圆相交于点P、Q，设PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，O'点的坐标为(

x1+p

2

，

y1

2

)．
∵|O′P|=

1

2

|CD|=

1

2

( x   1 -p)2+y12

=

1

2

x 2 1 +p2

，
|O′H|=|a-

x1+p

2

|=

1

2

|2a-x1-p|，（2分）
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=

1

4

(

x

2 1

+p2)-

1

4

(2a-x1-p)2=(a-

p

2

)x1+a(p-a)，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[(a-

p

2

)x1+a(p-a)]．                    （5分）
令a-

p

2

=0，得a=

p

2

，此时|PQ|=p为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为x=

p

2

，即抛物线的通径所在的直线． （7分）

点评：此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．