Question

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置.
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边.
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起.
(4)全体排成一行，男、女各不相邻.
(5)全体排成一行，男生不能排在一起.
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人.
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.

Answer 1

同解析

(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择. 有A种，其余6人全排列，有A种.由乘法原理得AA=2160种.
(2)位置分析法. 先排最右边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种.则符合条件的排法共有AA－AA=3720种.
(3)捆绑法. 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列. 共有AA=720种.
(4)插空法. 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA=144种.
(5)插空法. 先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440种.
(6)定序排列. 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A=N×A，∴N== 840种.
(7)与无任何限制的排列相同，有A=5040种.
(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA。 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可。 共有A×A×A=720种.