Question

已知圆x²+y²=1和直线y=2x+b相交于A，B两点，且OA，OB是x轴正方向沿逆时针分别旋转α，β角而得，则cos（α+β）的值为（　　）

• A、

  b+3

  b2+5

• B、

  3

  5

• C、

  3

  b2+5

• D、

  3 5 |b|+15

  5b2+25

Answer 1

分析：将圆的方程x²+y²=1和直线y=2x+b的方程联立，利用韦达定理与两角和的余弦即可求得cos（α+β）的值．

解答：解：由

x2+y2=1 y=2x+b

消去y得：5x²+4bx+b²-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁、x₂是方程5x²+4bx+b²-1=0的两根，
∴由韦达定理得：x₁+x₂=-

4b

5

，x₁x₂=

b2-1

5

，
∴y₁y₂=（2x₁+b）（2x₂+b）
=4x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²
=

4(b2-1)

5

-

8

5

b²+b²
=

b2-4

5

，
又cosα=x₁，cosβ=x₂，sinα=y₁，sinβ=y₂，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=x₁x₂-y₁y₂
=

b2-1

5

-

b2-4

5

=

3

5

．
故选：B．

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，着重考查直线与圆的位置关系，韦达定理的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．