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已知圆x2+y2=1和直线y=2x+b相交于A,B两点,且OA,OB是x轴正方向沿逆时针分别旋转α,β角而得,则cos(α+β)的值为(  )
A、
b+3
b2+5
B、
3
5
C、
3
b2+5
D、
3
5
|b|+15
5b2+25
分析:将圆的方程x2+y2=1和直线y=2x+b的方程联立,利用韦达定理与两角和的余弦即可求得cos(α+β)的值.
解答:精英家教网解:由
x2+y2=1
y=2x+b
消去y得:5x2+4bx+b2-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1、x2是方程5x2+4bx+b2-1=0的两根,
∴由韦达定理得:x1+x2=-
4b
5
,x1x2=
b2-1
5

∴y1y2=(2x1+b)(2x2+b)
=4x1x2+2b(x1+x2)+b2
=
4(b2-1)
5
-
8
5
b2+b2
=
b2-4
5

又cosα=x1,cosβ=x2,sinα=y1,sinβ=y2
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=x1x2-y1y2
=
b2-1
5
-
b2-4
5

=
3
5

故选:B.
点评:本题考查两角和与差的余弦函数,着重考查直线与圆的位置关系,韦达定理的应用是关键,考查转化思想与运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆x2+y2=1,点A(1,0),△ABC内接于圆,且∠BAC=60°,当B、C在圆上运动时,BC中点的轨迹方程是(  )
A、x2+y2=
1
2
B、x2+y2=
1
4
C、x2+y2=
1
2
(x<
1
2
D、x2+y2=
1
4
(x<
1
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆x2+y2=1与x轴的两个交点为A、B,若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,则
PA
PB
的取值范围为(  )
A、(0,
1
2
]
B、[-
1
2
,0)
C、(-
1
2
,0)
D、[-1,0)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆x2+y2=1与抛物线y=x2+h有公共点,则实数h的取值范围是
h∈[-
5
4
,1]
h∈[-
5
4
,1]

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆x2+y2=1与x轴的两个交点为A,B,若圆内的动点P使
PA
2
PO
2
PB
2
成等比数列(O为坐标原点),则
PA
PB
的取值范围为(  )

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