Question

6．函数y=$\frac{1-x}{1-x+{x}^{2}}$的值域是[-$\frac{1}{3}$，1]．

Answer 1

分析 可将原函数整理成关于x的方程的形式：yx²+（1-y）x+y-1=0，方程有解，显然需讨论y=0和y≠0两种情况：y=0时容易得出满足条件，而y≠0时，前面方程为一元二次方程，从而有判别式△≥0，合并这两种情况得到的y的取值，从而得出该函数的值域．

解答 解：由原函数得：y-yx+yx²=1-x；
整理得，yx²+（1-y）x+y-1=0，看成关于x的方程，方程有解；
①若y=0，x=1，满足方程有解；
②若y≠0，上面方程为一元二次方程，方程有解；
∴△=（1-y）²-4y（y-1）≥0；
解得$-\frac{1}{3}≤y≤1$；
∴综上得原函数的值域为$[-\frac{1}{3}，1]$．
故答案为：[$-\frac{1}{3}$，1]．

点评 考查函数值域的概念，形容y=$\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法：整理成关于x的方程，根据方程有解求，一元二次方程有解时判别式△的取值情况，不要漏了讨论a=0的情况．