【题目】已知函数,函数的图象在点处的切线方程为.
(1)讨论的导函数的零点的个数;
(2)若,且在上的最小值为,证明:当时,.
【答案】(1)当时,存在唯一零点,当时,无零点.(2)证明见解析
【解析】
(1)由题意得的定义域为,,然后分和两种情况讨论即可
(2)先由条件求出,然后要证,即证,令,然后利用导数得出即可
(1)由题意,得的定义域为,.
显然当时,恒成立,无零点.
当时,取,
则,即单调递增,
又,,
所以导函数存在唯一零点.
故当时,存在唯一零点,当时,无零点.
(2)由(1)知,当时,单调递增,所以,所以.
因为,函数的图象在点处的切线方程为,
所以,所以.
又,所以,所以.
根据题意,要证,即证,只需证.
令,则.
令,则,
所以在上单调递增.
又,,
所以有唯一的零点.
当时,,即,单调递减,
当时,,即,单调递增,
所以.
又因为,所以,所以,
故.
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【题目】已知函数f(x)x2+ax+lnx(a∈R)
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2且|x1﹣x2|,求|f(x1)﹣f(x2)|的最大值.
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【题目】某流行病爆发期间,某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物,,(,,的使用是互斥且完备的),并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示:(表中的数据都以一个疗程计)
药物 | |||
单价(单位:元) | 600 | 1000 | 800 |
治愈率 | |||
市场使用量(单位:人) | 305 | 122 | 183 |
(Ⅰ)从感染患者中任取一人,试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少?
(Ⅱ)试估算每名感染患者在一个疗程的药物治疗费用平均是多少.
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【题目】某公司以客户满意为出发点,随机抽选2000名客户,以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素.每名客户填写一个因素,下图为客户满意度分析的帕累托图.帕累托图用双直角坐标系表示,左边纵坐标表示频数,右边纵坐标表示频率,分析线表示累计频率,横坐标表示影响满意度的各项因素,按影响程度(即频数)的大小从左到右排列,以下结论正确的个数是( ).
①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度;
②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度;
③最影响客户满意度的因素是电话接起快速;
④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】为提高产品质量,某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测,现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比,并对每个产品进行综合评分(满分100分),将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
(1)求图中的值,并求综合评分的中位数;
(2)用样本估计总体,视频率作为概率,在该条生产线中随机抽取3个产品,求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,右焦点到右准线的距离为3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A,B.己知在椭圆C上存在点Q,使得四边形OAQB是平行四边形,求Q的坐标.
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【题目】已知点在抛物线上,过点的直线与抛物线交于A,B两点,又过A,B两点分作抛物线的切线,两条切线交于P点.记直线PA、PB的斜率分别为和.
(1)求的值;
(2),,求四边形PAEG面积的最小值.
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