Question

已知四棱锥P－ABCD的三视图和直观图如下：

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2) 若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

(3) 若F是侧棱PA上的动点，证明：不论点F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立(3) 假设BF⊥平面PAD，这与Rt△PAD中∠PDA为锐角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD

【解析】

试题分析：(1)由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PC＝2，∴V_P－ABCD＝·PC·S_底＝×2×1＝.   3分

(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立．   4分

连接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且∴BD⊥平面PAC，   7分

当E在PC上运动时，，∴BD⊥AE恒成立．   8分

（3）用反证法：假设BF⊥平面PAD，  9分

又  11分

 ， 12分这与Rt△PAD中∠PDA为锐角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD  13分

考点：锥体体积及线线垂直线面垂直的判定

点评：椎体体积公式，本题中在求解第二问第三问时还可通过空间向量的方法求解，根据已知条件可建立以点为原点，为坐标轴的坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系