Question

（2012•河北模拟）已知函数f（x）=alnx-bx²的图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-mx，m∈R，如果g（x）的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁＜x₂），AB中点为C（x₀，0），求证：g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数；
（Ⅱ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

-2bx，f′（2）=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x²-mx，g′（x）=

2

x

-2x-m．
假设结论成立，则有：

2lnx1-x12-mx1=0 ① 2lnx2-x22-mx2=0 ② x1+x2=x0        ③ 2 x0 -2x0-m=0        ④

①-②，得2ln

x1

x2

-(x12-x22)-m(x1-x2)=0．
∴m=2

ln x1 x2

x1-x2

-2x0．
由④得m=

2

x0

-2x0，
∴

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

．⑤
令t=

x1

x2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
则u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴g′（x₀）≠0．

点评：本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法．值得同学们体会反思．