Question

如左图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别是边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起使AE=AD，如右图所示．
（1）求证：AF∥平面CBD；
（2）求三棱锥C-ABF的体积．

Answer 1

分析：（1）在平面CBD内找一条直线与AF平行即可．
（2）求三棱锥的体积，可以先求出底面的面积和高，再代入三棱锥的条件公式计算即可，也可以灵活运用等体积转化法来计算．

解答：解：（1）因为CF∥DE，CF=

1

2

DE，所以延长DC，EF会相交，如图所示，
设DC∩EF=G，连接BG，则FG=EF．所以GF∥AB．GF=AB，
所以四边形ABGF是平行四边形．
所以AF∥BG，又BG?平面CBD，
所以AF∥平面CBD．
（2）因为AD=AE=DE=2，所以∠DEA=60^?，
因为CF∥DE，BF∥AE，
所以∠CFB=∠DEA=60^?，
又FB=AE=2，FC=1，
所以S△CFB=

1

2

FB×CF×sin?60?=

3

2

，
又EF⊥BF，EF⊥CF，所以EF⊥平面CBF．
又AB∥EF，所以AB⊥平面CBF，
所以VC-ABF=VA-CBF=

1

3

S△CFB×AB=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．

点评：本题主要考查了空间立体几何中的线面平行的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握空间线面平行的判定定理和性质定理．