Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，分别是的中点，求证：

（1）平面；

（2）；

（3）平面平面.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】试题分析: 1）根据线面垂直的判定定理即可证明C1M⊥平面AA1B1B；

（2）根据线面垂直的性质先证明A1B⊥平面AC1M，即可证明A1B⊥AM；

（3）根据面面平行的判定定理即可证明平面AC1M∥平面B1NC．

试题解析：

（1）证法一：由直三棱柱得

平面，

∵平面，

∴ ，

又∵，为的中点，

∴，

又∵，

∴平面.

证法二：由直三棱柱得

平面平面，且平面平面，

∵，为的中点，

∴，

又∵平面，

∴平面.

（2）由（1）知，平面

∵平面，

∴ ，

∵ ， ，

∴平面，

∵平面，

∴.

（3）证法一：由直三棱柱知，四边形是矩形，

∵分别是的中点，

∴，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，

连接，则四边形是矩形，

∴，且，

又∵，，

∴，且，

∴四边形是矩形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面

又∵，

∴平面平面.

证法二：由（2）知，平面，

∵平面，∴ ，

∵，∴ ，

∵平面，平面，

∴ ，

∵ ，

∴平面，

∴平面平面.

点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.