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    将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
    a1
    a2a3a4
    a5a6a7a8a9
    …
    已知表中的第一列数a1，a2，a5，…构成一个等差数列，记为{bn}，且b2=4，b5=10．表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，…构成数列{cn}，其前n项和为Sn．
    （1）求数列{bn}的通项公式；
    （2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a13=1．①求Sn；②记M={n|（n+1）cn≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．
    分析：（1）设{bn}的公差为d，则
    b1+d=4
    b1+4d=10
    ，由此能求出数列{bn}的通项公式．
    （2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，解得q=
    1
    2
    ，cn=2n•(
    1
    2
    )    n-1    =
    n
    2n-2
    ，所以Sn=
    1
    2-1
    +
    2
    20
    +
    3
    2
    +…+
    n
    2n-2
    ，由错位相减法能够求得Sn=8-
    n+2
    2n-2
    ．
    ②由cn=
    n
    2n-2
    ，知不等式（n+1）cn≥λ，可化为
    n(n+1)
    2n-1
    ≥λ    ，设f(n)=
    n(n+1)
    2n-2
    ，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=
    15
    4
    ，由此能够推导出λ的取值范围．
    解答：解：（1）设{bn}的公差为d，
    则
    b1+d=4
    b1+4d=10
    ，解得
    b1=2
    d=2
    ，∴bn=2n．
    （2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，
    由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个数，且32＜13＜42，
    ∴a10=b4=8，
    ∴a13=a10q3=8q3，
    又a13=1，解得q=
    1
    2
    ，
    ∴cn=2n•(
    1
    2
    )    n-1    =
    n
    2n-2
    ，
    ∴Sn=
    1
    2-1
    +
    2
    20
    +
    3
    2
    +…+
    n
    2n-2
    ，
    1
    2
    Sn=
    1
    20
    +
    2
    2 
    +…+
    n-1
    2 n-2
    +
    n
    2n-1
    ，
    ∴
    1
    2
    Sn=
    1
    2-1
    +
    1
    20
    +
    1
    2
    +…+
    1
    2n-2
    -
    n
    2n-1

    =4-
    n+2
    2n-1

    解得Sn=8-
    n+2
    2n-2
    ．
    ②由①知，cn=
    n
    2n-2
    ，不等式（n+1）cn≥λ，可化为
    n(n+1)
    2n-2
    ≥λ    ，
    设f(n)=
    n(n+1)
    2n-2
    ，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=
    15
    4
    ，
    ∴n≥3时，f（n+1）＜f（n）．
    ∵集合M的元素个数是3，
    ∴λ的取值范围是（4，5]．
    点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化．
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    2bn
    bnSn-
    S
    2
    n
    =1(n≥2)    ．
    （1）求证数列{
    1
    Sn
    }    成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）上表中，若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a81=-
    4
    91
    时，公比q的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知整数数列{an}满足：a1=1，a2=2，且2an-1＜an-1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：
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    依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
    （3）令cn=2+ban+b•2an-1（b为大于等于3的正整数），问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表．记表中第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1=a1=1．Sn为数列{bn}的前n项和，且满足2bn=bnSn-Sn2（n≥2，n∈N*）．
    （1）证明数列{
    1
    Sn
    }是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-
    4
    91
    时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
    记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…，构成的数列为{bn}，b1=a1=1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足数学公式．
    （1）求证数列数学公式成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （2）上表中，若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当数学公式时，公比q的值．

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    科目：高中数学 来源：2011年江苏省淮安市洪泽中学高考数学模拟试卷（3）（解析版） 题型：解答题

    已知整数数列{an}满足：a1=1，a2=2，且2an-1＜an-1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）将数列{an}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

    …
    依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
    （3）令（b为大于等于3的正整数），问数列{cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

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