【题目】如图,菱与四边形
相交于
,
平面
,
为
的中点,
.
(I)求证: 平面
;
(II)求直线与平面
成角的正弦值.
【答案】(I)见解析;(II).
【解析】试题分析:(I) 取的中点
,连接
,要证
平面
,只需证平面
平面
,又
,
可得;
(Ⅱ)以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,过点
与平面
垂直的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,用空间向量求解即可.
试题解析:
证明:(Ⅰ)取的中点
,连接
.
因为为菱形对角线的交点,所以
为
中点,又
为
中点,所以
,
又因为分别为
的中点,
所以,又因为
,所以
,
又,所以平面
平面
,
又平面
,所以
平面
;
(Ⅱ)连接,设菱形的边长
,则由
,得
,
又因为,所以
,
则在直角三角形中,
,所以
,且由
平面
,
,得
平面
.
以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,过点
与平面
垂直的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,则
则,设
为平面
的一个法向量,则
即
令
,得
,所以
,
又,所以
,设直线
与平面
所成角为
,则
.所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为
(
为参数,
),直线
,若直线
与曲线C相交于A,B两点,且
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若M,N为曲线C上的两点,且,求
的最小值.
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【题目】下列命题正确的是( )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件
C.命题“若x<﹣1,则x2﹣2x﹣3>0”的否定为:“若x≥﹣1,则x2﹣2x﹣3≤0”
D.已知命题 p:x∈R,x2+x﹣1<0,则p:x∈R,x2+x﹣1≥0
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【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(Ⅲ)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?
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【题目】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,他们在培训期间8次模拟考试的成绩如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84
乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,并求学生乙成绩的平均数和方差;
(2)从甲同学超过80分的6个成绩中任取两个,求这两个成绩中至少有一个超过90分的概率.
(3)甲同学超过80(分)的成绩有82 81 95 88 93 84,
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【题目】如图,已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的一个焦点为
,
是椭圆上的一个点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的上、下顶点分别为,
(
)是椭圆上异于
的任意一点,
轴,
为垂足,
为线段
中点,直线
交直线
于点
,
为线段
的中点,如果
的面积为
,求
的值.
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【题目】已知函数f(x)=mx2﹣mx﹣1.
(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<5﹣m恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知曲线为参数),
为参数).
(1)化的参数方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若上的点
对应的参数为
为
上的动点,求
的中点
到直线
为参数)距离的最小值.
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