Question

在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，侧棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，点M为VA的中点，则直线VC与平面MBC所成角的正弦值是（　　）

• A．

  3

  6

• B．．

  15

  5

• C．．

  2

  3

• D．．

  15

  15

Answer 1

分析：设VA=AB=2，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AV为z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，1），B（2，0，0），C（2，2，0），V（0，0，2），

MB

=(2，0，-1)，

MC

=(2，2，-1)，

CV

=(-2，-2，2)，设平面MBC的法向量

n

=(x，y，z)，由

n

•

MB

=0，

n

•

MC

=0，解得

n

=(1，0，2)，由此能求出直线VC与平面MBC所成角的正弦值．

解答：解：在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，
侧棱VA垂直于底面ABCD，且VA=AB，点M为VA的中点，
设VA=AB=2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M（0，0，1），B（2，0，0），C（2，2，0），V（0，0，2），
∴

MB

=(2，0，-1)，

MC

=(2，2，-1)，

CV

=(-2，-2，2)，
设平面MBC的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n

•

MB

=0，

n

•

MC

=0，
得

2x-z=0 2x+2y-z=0

，解得

n

=(1，0，2)，
设线VC与平面MBC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

VC

，

n

＞|
=|

-2+0+4

12 • 5

|
=

15

15

．
故选D．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．