Question

（2008•盐城一模）已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x₀∈（a，b）使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)”成立，
（1）利用这个性质证明x₀唯一．
（2）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用反证法，假设存在x₀′，x₀（a，b），考察得出函数f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，得出矛盾
（2）利用f（x）是R上的单调减函数，得出

BA

•

BC

＜0，cosB＜0，∠B为钝角，△ABC为钝角三角形．

解答：（1）证明：假设存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得f（b）-f（a）=（b-a）f'（x₀）…①f（b）-f（a）=（b-a）f'（x'₀）…②
①-②得，（b-a）f'（x₀）=（b-a）f'（x'₀）．
∵b＞a，∴b-a≠0，∴f'（x₀）=f'（x'₀）
∵f′(x)=

ex

1+ex

-1=

-1

1+ex

，记g(x)=f′(x)=-

1

1+ex

，
∴g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0，f′(x)是[a，b]上的单调增函数．
∴x₀=x'₀，这与x'₀≠x₀矛盾，即x₀是唯一的．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃
∵f′(x)=

-1

1+ex

＜0，∴f（x）是x∈R上的单调减函数．
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
∵

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，
∴

BA

•

BC

-(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B为钝角．
故△ABC为钝角三角形．

点评：本题考查了函数单调性的应用，向量坐标运算及几何意义，反证法的解题思想．综合性强，值得体会．