Question

求下列函数的值域
（1）y=1+sinx+cosx+

1

2

sin2x  x∈[-π，π]；
（2）y=-cos³xcosx．

Answer 1

分析：（1）根据解析式t=sinx+cosx，利用两角和的正弦公式进行化简后，由x的范围求出t的范围，由对t的式子两边平方后，由平方关系求出sinxcosx，代入解析式转化为关于t的二次函数，对式子配方后利用二次函数的性质求出最值，就求出值域；
（2）把解析式化简后，根据cosx的范围，求出cos²x的范围，进而求出函数的值域．

解答：解：（1）由题意得，y=1+sinx+cosx+

1

2

sin2x=1+sinx+cosx+sinxcosx
令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∵x∈[-π，π]，∴t∈[-

2

，

2

]；
且sinxcosx=

1

2

（t²-1），
代入解析式得，y=

1

2

t²+t+

1

2

=

1

2

（t+1）²，t∈[-

2

，

2

]，
当t=-1时，函数有最小值是0；当t=

2

时，函数有最大值是

3

2

+

2

，
∴函数的值域是[0，

3

2

+

2

]，
（2）由题意得，y=-cos³xcosx=y=-cos⁴x，
∵-1≤cosx≤1，∴0≤cos²x≤1，∴-1≤-cos⁴x≤0，
即函数的值域是[-1，0]．

点评：本题的考点是复合三角函数的值域的求法，主要利用换元法和“sinx+cosx”与“sinxcosx”的关系，注意由函数的定义域和正弦（余弦）函数的值域，求出换元后的自变量的范围，根据二次函数的性质求出函数的值域．