Question

3．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2．数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得${T_n}＜\frac{m}{2016}$对所有的（n∈N^*）都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）依题意可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），求出导数，可得a=3，b=-2，可得S_n=3n²-2n，再由数列的通项与求和关系，即可得到所求通项公式；
（2）求得${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），运用裂项相消求和可得T_n，再由恒成立思想即可解得m的范围，进而得到最小正整数．

解答 解：（1）依题意可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），
则f′（x）=2ax+b，由f′（x）=6x-2，可得a=3，b=-2，则f（x）=3x²-2x
点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
即有S_n=3n²-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5；
当n=1时，a₁=S₁=1也适合，则a_n=6n-5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）
故T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）
因此，要使$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{2016}$成立，m必须且仅需满足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2016}$，
即m≥1008，故满足要求的最小正整数m为1008．

点评 本题考查二次函数的性质，以及解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立其它的解法，注意运用不等式的性质，属于中档题．