Question

已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+（元）．
（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据题意设生产x件产品的平均成本为y元，再结合平均成本的含义得出函数y的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可；
（2）先写出利润函数的解析式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品．
解答：解：（1）设生产x件产品的平均成本为y元，则（2分）（3分）
令y'=0，得x₁=1000，x₂=-1000（舍去）（4分）
当x∈（0，1000）时，y取得极小值．
由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值，
因此要使平均成本最低，应生产1000件产品（6分）
（2）利润函数（8分）（9分）
令L'（x）=0，得x=6000（10分）
当x∈（0，6000）时，L'（x）＞0
当x∈（6000，+∞）时，L'（x）＜0∴x=6000时，L（x）取得极大值，即函数在该点取得最大值，
因此要使利润最大，应生产6000件产品（12分）
点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．