Question

（2012•梅州一模）设x，y满足约束条件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则

3

a

+

4

b

的最小值为（　　）

• A．4
• B．

  7+4 3

  7

• C．

  24

  7

• D．7

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=3，y=4时，z最大值为3a+4b=7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a=b=1时，

3

a

+

4

b

的最小值为7．

解答：解：作出不等式组

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，
当l经过点C时，目标函数z达到最大值
∴z_最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得

1

7

（3a+4b）=1
因此，

3

a

+

4

b

=

1

7

（3a+4b）（

3

a

+

4

b

）=

1

7

（25+

12b

a

+

12a

b

）
∵

12b

a

+

12a

b

≥2

12b a • 12a b

=24
∴

1

7

（25+24）≥

1

7

×49=7，
即当且仅当a=b=1时，

3

a

+

4

b

的最小值为7
故选：D

点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by最大值为7的情况下求

3

a

+

4

b

的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题．