Question

1．如图所示的几何体ABCEF中，BF⊥平面ABC，D为线段BC的中点，CE∥BF，∠BAC=90°，且AB=AC=BF=2CE．
（1）求证：DF⊥AE；
（2）求二面角D-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量数量积的应用证明$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$即可证明DF⊥AE；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D-AE-F的余弦值．

解答 证明：（1）过A作ABC的垂线Az，
∵∠BAC=90°，
∴建立以A为坐标原点，AB，AC，Az分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=AC=BF=2CE，
∴设CE=1，则AB=AC=BF=2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），E（0，2，1），F（2，0，2），
则$\overrightarrow{DF}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），
则$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=（1，-1，2）•（0，2，1）=-1×2+2×1=0，
即$\overrightarrow{DF}$⊥$\overrightarrow{AE}$，
则DF⊥AE；
（2）设面DAE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AD}$=（1，1，0），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=2y+z=0，
令y=1，则x=-1，z=-2，即$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-2），
设面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{AF}$=（2，0，2），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AF}$=2x+2z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AE}$=2y+z=0，
令y=1，则x=2，z=-2，即$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2+1+4}{\sqrt{1+1+4}•\sqrt{4+1+4}}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即二面角D-AE-F的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法以及向量数量积的应用是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．