分析 (1)建立空间坐标系,利用向量数量积的应用证明$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$即可证明DF⊥AE;
(2)求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角D-AE-F的余弦值.
解答 证明:(1)过A作ABC的垂线Az,
∵∠BAC=90°,
∴建立以A为坐标原点,AB,AC,Az分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
∵AB=AC=BF=2CE,
∴设CE=1,则AB=AC=BF=2,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),E(0,2,1),F(2,0,2),
则$\overrightarrow{DF}$=(1,-1,2),$\overrightarrow{AE}$=(0,2,1),
则$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=(1,-1,2)•(0,2,1)=-1×2+2×1=0,
即$\overrightarrow{DF}$⊥$\overrightarrow{AE}$,
则DF⊥AE;
(2)设面DAE的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
则$\overrightarrow{AD}$=(1,1,0),
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AD}$=x+y=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=2y+z=0,
令y=1,则x=-1,z=-2,即$\overrightarrow{m}$=(-1,1,-2),
设面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\overrightarrow{AF}$=(2,0,2),
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AF}$=2x+2z=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AE}$=2y+z=0,
令y=1,则x=2,z=-2,即$\overrightarrow{n}$=(2,1,-2),
$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2+1+4}{\sqrt{1+1+4}•\sqrt{4+1+4}}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
即二面角D-AE-F的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
点评 本题主要考查空间直线垂直的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法以及向量数量积的应用是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -2 | B. | -1 | C. | 1 | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,$\frac{11}{4}$-ln2] | B. | (-∞,$\frac{5}{4}$-ln2] | C. | (-∞,$\frac{5}{2}$-e${\;}^{\frac{1}{2}}$] | D. | (-∞,$\frac{15}{4}$-e${\;}^{\frac{1}{4}}$] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [2,3] | B. | [2,$\frac{23}{8}$] | C. | [$\frac{5}{16}$,$\frac{9}{16}$] | D. | [$\frac{27}{16}$,$\frac{9}{4}$] |
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