Question

如图，下面的表格内的数值填写规则如下：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（1）设第2行的数依次为b₁，b₂，…，b_n，试用n，q表示b₁+b₂+…+b_n的值；
（2）设第3列的数依次为c₁，c₂，c₃，…，c_n，求证：对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）能否找到q的值，使得（2）中的数列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m项c₁，c₂，…，c_m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得b₂=1+q，b₃=1+（1+q）=2+q，…，b_n=（n-1）+q，从而可求得b₁+b₂+…+b_n的值；
（2）依题意，c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，c₃=（2+q）+（1+q+q²）=3+2q+q²，易求c₁+c₃-2c₂=q²，从而可证对于任意非零实数q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）先设c₁，c₂，c₃成等比数列，可求得q=-

1

2

，此时c₁=1，c₂=

3

2

，c₃=

9

4

，显然c₁，c₂，c₃是一个公比为

3

2

的等比数列；当m≥4，c₁，c₂，…，c_m为等比数列，可导出矛盾，从而可知当m=3且q=-

1

2

时，数列c₁，c₂，…，c_m是等比数列．

解答：解：（1）b₁=q，b₂=1+q，b₃=1+（1+q）=2+q，…，b_n=（n-1）+q，
所以 b₁+b₂+…+b_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

2

+nq．…（3分）
（2）c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，c₃=（2+q）+（1+q+q²）=3+2q+q²，…（5分）
由c₁+c₃-2c₂=1+3+2q+q²-2（2+q）=q²＞0得 c₁+c₃＞2c₂．…（7分）
（3）先设c₁，c₂，c₃成等比数列，由c1c3=

c

2 2

，得 3+2q+q²=（2+q）²，解得q=-

1

2

．
此时 c₁=1，c₂=

3

2

，c₃=

9

4

，所以c₁，c₂，c₃是一个公比为

3

2

的等比数列．…（9分）
如果m≥4，c₁，c₂，…，c_m为等比数列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比数列．
由上所述，此时q=-

1

2

，c₁=1，c₂=

3

2

，c₃=

9

4

，c₄=

23

8

，…由于

c4

c3

≠

3

2

，
因此，对于任意m≥4，c₁，c₂，c₃，…，c_m一定不是等比数列．…（11分）
综上所述，当且仅当m=3且q=-

1

2

时，数列c₁，c₂，c₃，…，c_m是等比数列．…（12分）

点评：本题考查分析法与综合法，突出考查反证法的应用，考查推理分析与证明及运算能力，属于难题．