如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,AB=BC=CA=2, M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上.
(1)证明:平面PAB平面PCM;
(2)证明:线段PC的中点为球O的球心;
(3)若球O的表面积为,求二面角A―PB―C的平面角的余弦值.
(1)证明:∵AC=BC,M为AB的中点,
∴CM⊥AB。
∵PA⊥平面ABC,CM平面ABC,
∴PA⊥CM。
∵ABPA=A,AB平面PAB,PB平面PAB。
∴CM⊥平面PAB。
∵CM平面PCM
∴平面PAB⊥平面PCM。
(2)证明:由(1)知CM⊥平面PAB。
∵PM平面PAB,
∴CM⊥PM
∵PA⊥平面ABC,AC平面ABC,
∴PA⊥AC
取PC的中点N,连接MN、AN,在Rt△PAC中,点N为斜边PC的中点,
∴MN=PN=NC
∴PN=NC=AN=MN
∴点N是球O的球心,即线段PC的中点为球O的球心
(3)解法一:依题意得
解得NC=
∴PC=2,PA
作MD⊥PB,垂足为D,连接CD
由(1)知CM⊥平面PAB。
∵PB平面PAB。
∴PB⊥CM
∵MDMC=M,
∴PB⊥平面CMD
∵CD平面CMD,
∴CD⊥PB。
∴∠CDM是二面角A―PB―C的平面角。
在Rt△PAB和Rt△MDB中,PB
∴MD=
在Rt△CMD中,
∴二面角A―PB―C的平面角的余弦值是
解法二:依题意得依题意得
解得NC=
∴PC=2,PA
如图,建立空间直角坐标系数A-xyz
则A(0,0,0),M
由(1)知的一个法向量
设平面PBC的法向量n的坐标为(x,y,z)
由
令x=2,得
∴平面PBC的一个法向量为
∴
∴二面角A―PB―C的平面角的余弦值是
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