【题目】已知f(x)=x2﹣ (x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(x)在(﹣∞,﹣2]上为减函数,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=0时,f(x)=x2,
对任意x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(﹣x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(x)=x2﹣ (a≠0,x≠0),取x=±1,
得f(﹣1)+f(1)=2≠0,f(﹣1)﹣f(1)=﹣2a≠0,
∴f(﹣1)≠f(1),f(﹣1)≠﹣f(1),
∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,
综上,当a=0时,f(x)为偶函数;
当a≠0时,函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
(2)解:f′(x)=2x+ ,
要使函数f(x)在x∈(﹣∞,﹣2]上为减函数,
则有f′(x)≤0在(﹣∞,﹣2]时恒成立,
即2x+ ≤0恒成立,
即a≤﹣2x3对x∈(﹣∞,﹣2]恒成立,
故a≤16
【解析】(1)通过讨论a=0和a≠0,结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可;(2)求出函数的导数,问题转化为a≤﹣2x3对x∈(﹣∞,﹣2]恒成立,从而求出a的范围即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
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【题目】随着节假日外出旅游人数增多,倡导文明旅游的同时,生活垃圾处理也面临新的挑战,某海滨城市沿海有三个旅游景点,在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点(如图),两地相距10,从回收站观望地和地所成的视角为,且,设;
(1)用分别表示和,并求出的取值范围;
(2)某一时刻太阳与三点在同一直线,此时地到直线的距离为,求的最大值.
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【题目】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcosC+ csinB.
(1)若a=2,b= ,求c
(2)设函数y= sin(2A﹣30°)﹣2sin2(C﹣15°),求y的取值范围.
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【题目】某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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【题目】设是空间两条直线, 是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( )
A. 当时,“”是“”的充要条件
B. 当时,“”是“”的充分不必要条件
C. 当时,“”是“”的必要不充分条件
D. 当时,“”是“”的充分不必要条件
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【题目】已知各项均不相等的等差数列{an}满足a1=1,且a1 , a2 , a5成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=(﹣1)n (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工某种零件所花费的时间,为此进行了6次试验,收集数据如下:
零件数(个) | ||||||
加工时间(小时) |
(Ⅰ)在给定的坐标系中划出散点图,并指出两个变量是正相关还是负相关;
(Ⅱ)求回归直线方程;
(Ⅲ)试预测加工个零件所花费的时间?
附:对于一组数据,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
.
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【题目】为选拔选手参加“中国汉字听写大全”,某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;
(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”,每次抽取1人,求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下,第2次抽取的成绩仍低于90分的概率.
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