Question

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．
（Ⅱ）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+2）米
∵DN：AN=DC：AM，
∴AM=

3(x+2)

x

，…（2分）
∴S_AMPN=AN•AM=

3(x+2)2

x

．
由S_AMPN＞32，得

3(x+2)2

x

＞32，又x＞0，
得3x²-20x+12＞0，解得：0＜x＜1或x＞4，
即DN长的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）． …（6分）
（Ⅱ）矩形花坛AMPN的面积为y=

3(x+2)2

x

=3x+

12

x

+12≥2

3x• 12 x

+12=24…（10分）
当且仅当3x=

12

x

，即x=2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24．
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．…（12分）

点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．