Question

已知：a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：（1）

a

+

b

≤

2

；（2）ab+

1

ab

≥

17

4

．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，我们易得要证

a

+

b

≤

2

成立，即证2

ab

≤1，由已知中a＞0，b＞0，且a+b=1，根据基本不等式易得答案．
（2）由已知中a＞0，b＞0，可得

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，即0＜ab≤

1

4

，令t=ab（t∈(0，

1

4

]），结合对勾函数的单调性可得答案．

解答：证明：（1）要证

a

+

b

≤

2

成立，
只要证：a+b+2

ab

≤2，
只要证：2

ab

≤1
∵a＞0，b＞0，
∴

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，即2

ab

≤1成立，
∴

a

+

b

≤

2

成立．…（4分）
（2）∵a＞0，b＞0，
∴

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，
∴0＜ab≤

1

4

，…（5分）
令t=ab（t∈(0，

1

4

]），
则设y=ab+

1

ab

=t+

1

t

，t∈(0，

1

4

]
y′ =1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
则当t∈(0，

1

4

)时，y'_t＜0恒成立，
∴y=t+

1

t

在区间(0，

1

4

)是减函数，…（8分）
∴当t=

1

4

时，ymin=

17

4

，
∴y≥

17

4

即ab+

1

ab

≥

17

4

．…（10分）

点评：本题考查的知识点是分析法，利用导数研究函数的单调性，是基本不等式，证明方法及函数单调性的综合应用，难度中档．