Question

（2012•海口模拟）选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为：ρ=2cosθ，直线C₂的参数方程为：

x=1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t为参数）
（I ）求曲线C₁的直角坐标方程，曲线C₂的普通方程．
（II）先将曲线C₁上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的

3

倍得到曲线C₃，P为曲线C₃上一动点，求点P到直线C₂的距离的最小值，并求出相应的P点的坐标．

Answer 1

分析：（I） 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得C₁为直角坐标方程；消去参数t得曲线C₂的普通方程
（II）曲线C₃上的方程为

x2

3

+y2=1，设点P（

3

cosθ，sinθ），点P到直线的距离为d=

| 3 cosθ-sinθ+4|

2

=

|2cos(θ+ π 6 )+4|

2

，利用三角函数的性质求解．

解答：解：（I ）C₁的极坐标方程为：ρ=2cosθ，即：ρ²=2ρcosθ，
化为直角坐标方程为x²+y²=2x，即为（x-1）²+y²=1
直线C₂的参数方程为：

x=1+ 2 2 t y=3+ 2 2 t

（t为参数），
消去t得普通方程为x-y+4=0
（II）曲线C₃上的方程为

x2

3

+y2=1
设点P（

3

cosθ，sinθ），点P到直线的距离为d=

| 3 cosθ-sinθ+4|

2

=

|2cos(θ+ π 6 )+4|

2

由三角函数的性质知，当θ+

π

6

=π是，d取得最小值

2

，此时θ=

5π

6

，
所以P点的坐标为（-

3

2

，

1

2

）

点评：本题考查了极坐标和直角坐标的互化及参数方程与普通方程的互化，能在直角坐标系中利用三角函数的性质求出最值，属于基础题．