Question

如图，已知直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点，A₁D⊥AB₁，且AC=BC，
（1）求证：A₁C⊥AB₁；
（2）若CC₁到平面A₁ABB₁的距离为1，，，求三棱锥A₁-ACD的体积；
（3）在（2）的条件下，求点B到平面A₁CD的距离．

Answer 1

解：（1）证明：在△CAB中，因为AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB．
又∵面ABB₁A₁⊥面ABC，且面ABB₁A∩面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB₁A₁，∴A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影．
∵AB₁⊥A₁D，由三垂线定理可得 A₁C⊥AB．
（2）由（1）知CD=1，在Rt△AA₁D及Rt△AA₁B中，由，，可求得，AD=2．
∴．
（3）∵AB与平面A₁DC相交于点D，且D为AB的中点，∴点B到平面A₁CD的距离为点A到平面A₁CD的距离，
过A作AH⊥A₁D于H，∵面ADA₁⊥面A₁DC，∴AH⊥面ADC，∴AH即为所求．
在Rt△AA₁D中，，AD=2，，∴，
∴点B到平面A₁CD的距离为．
分析：（1）在△CAB中，先证明A₁D是A₁C在平面ABB₁A上的射影，根据AB₁⊥A₁D，由三垂线定理可得 A₁C⊥AB₁ ．
（2）先求出求得，AD=2，由 运算求得结果．
（3）由题意得点B到平面A₁CD的距离为点A到平面A₁CD的距离，过A作AH⊥A₁D于H，可得AH⊥面ADC，AH即为所求，
根据 运算求得结果．
点评：本题考查证明线线垂直的方法，求三棱锥的体积，求点到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．