Question

2．已知数列{a_n}是等比数列，若a₃a₆a₉=-8，则$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$的最小值为6．

Answer 1

分析 先求出a₆=-2，从$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$=$\frac{4}{{{a}_{4}}^{2}}$+$\frac{8}{{{a}_{6}}^{2}}$+$\frac{16}{{{a}_{8}}^{2}}$=$\frac{4}{（\frac{-2}{{q}^{2}}）^{2}}$+2+$\frac{16}{（-2{q}^{2}）^{2}}$，由此利用基本不等式性质能求出$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$的最小值．

解答 解：∵数列{a_n}是等比数列，a₃a₆a₉=${{a}_{6}}^{3}$=-8，
∴a₆=-2
∴$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$
=$\frac{4}{{{a}_{4}}^{2}}$+$\frac{8}{{{a}_{6}}^{2}}$+$\frac{16}{{{a}_{8}}^{2}}$
=$\frac{4}{（\frac{-2}{{q}^{2}}）^{2}}$+2+$\frac{16}{（-2{q}^{2}）^{2}}$
=${q}^{4}+\frac{4}{{q}^{4}}$+2
$≥2\sqrt{{q}^{4}×\frac{4}{{q}^{4}}}$+2=6．
当且仅当${q}^{4}=\frac{4}{{q}^{4}}$时取等号，
∴$\frac{4}{{{a_1}{a_7}}}$+$\frac{8}{{{a_2}{a_{10}}}}$+$\frac{16}{{{a_4}{a_{12}}}}$的最小值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、基本不等式性质的合理运用．