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两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外,以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065,
(Ⅰ)将y表示成x的函数;
(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.

解:(Ⅰ)如图,由题意知,AC⊥BC,BC2=400-x2, 

其中当时,y=0.065,所以,k=9,
所以,y表示成x的函数为
 (Ⅱ)
 
令y′=0得,所以,,即x=
当0<x<时,,即y′<0,所以,此时函数为单调减函数;
<x<20时,,即y′>0,所以,此时函数为单调增函数,
所以,当x=时,即当C点到城A的距离为时,
函数有最小值。
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:江苏省泰州中学2010-2011学年高二下学期期中考试数学文科试题 题型:044

两县城A和B相距20 km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.

(1)按下列要求建立函数关系式:

(i)设∠CBA=(rad),将y表示成的函数;并写出函数的定义域.

(ii)设AC=x(km),将y表示成x的函数;并写出函数的定义域.

(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?

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科目:高中数学 来源:江苏省泰州中学2010-2011学年高二下学期期中考试数学理科试题 题型:044

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(1)按下列要求建立函数关系式:

(i)设∠CBA=(rad),将y表示成的函数;并写出函数的定义域.

(ii)设AC=x(km),将y表示成x的函数;并写出函数的定义域.

(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?

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