Question

9．已知函数$f（x）=sinx•cosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，把所得图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在$（-\frac{π}{4}，0）$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性、周期性，得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=g（x）在$（-\frac{π}{4}，0）$的值域．

解答 解：（1）$f（x）=sinxcosx+{sin^2}x-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
所以函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，求得$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}$（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]（k∈Z）$．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，
可得y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x-$\frac{π}{4}$）的图象，
再把所得图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，可得$g（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x+\frac{3π}{4}）$的图象．
∵x∈（-$\frac{π}{4}$，0），∴4x+$\frac{3π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（4x+$\frac{3π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴g（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，即值域为 （-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．