Question

给出下列命题：
①函数y=sin（

3

2

π+x）是偶函数；
②函数y=cos（2x+

π

4

）图象的一条对称轴方程为x=

π

8

；
③对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0则x＜0时，f'（x）＞g'（x）；④函数f（2-x）与函数f（x-2）的图象关于直线x=2对称；⑤若x＞0，且x≠1则1gx+

1

lgx

≥2；
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：利用诱导公式变形判断①；代值验证②；由函数的奇偶性的性质及函数的单调性与导函数的符号间的关系判断③；求出函数y=f（x-2）图象关于直线x=2对称的函数解析式判断④；由利用基本不等式求最值的条件判断⑤．

解答： 解：对于①，函数y=sin（

3

2

π+x）=-cosx是偶函数，命题①正确；
对于②，由y=f(x)=cos(2×

π

8

+

π

4

)=0，∴函数y=cos（2x+

π

4

）图象的一条对称轴方程为x=

π

8

错误；
对于③，对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），说明f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0，说明在（0，+∞）上f（x）为增函数，g（x）为增函数，则x＜0时，f'（x）＞0，g'（x）＜0，f'（x）＞g'（x），命题③正确；
对于④，函数y=f（x-2）图象关于直线x=2对称的函数解析式为y=f[（4-x）-2]=f（2-x），命题④正确；
对于⑤，若x＞0，且x≠1则1gx+

1

lgx

≥2错误，当x∈（0，1）时1gx+

1

lgx

≤-2．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，考查了函数的单调性与导函数符号间的关系，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．