Question

已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a₃：a₅=1：4．
（Ⅰ）求a₀+a₁+a₂+…+a_n；
（Ⅱ）求(x+

1

3 x

)n中的常数项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₃：a₅=1：4建立等式，求出n的值，然后令x=1，可求出所求系数的和；
（Ⅱ）先求二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为0，求出相应的r的值，从而可求出常数项．

解答：解：（Ⅰ）∵

a3

a5

=

1

4

，
∴

C 3 n (-2)3

C 5 n (-2)5

=

1

4

，
∴

C

3 n

=

C

5 n

，
解得n=8，
∴a0+a1+a2+…+an=a0+a1+a2+…+a8=(1-2×1)8=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=8，
∴Tr+1=

C

r 8

x8-r(

1

3 x

)r=

C

r 8

x8-

4r

3

，
令8-

4r

3

=0，得r=6，
∴(x+

1

3 x

)n中的常数项为T7=

C

6 8

=28．

点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意系数与二项式系数的区别，其次注意灵活运用赋值法，属于中档题．