已知定义域为x∈R|x≠0的函数f(x)满足;
①对于f(x)定义域内的任意实数x,都有f(-x)+f(x)=0;
②当x>0时,f(x)=x2-2.
(I)求f(x)定义域上的解析式;
(II)解不等式:f(x)<x.
【答案】
分析:(I)根据条件①变形,得到f(x)在定义域内是奇函数,设x小于0,得到-x大于0,代入②中f(x)的解析式中化简后即可得到x小于0时f(x)的解析式,综上,得到f(x)在x大于0和小于0上的分段函数解析式;
(II)当x大于0时和小于0时,把(I)得到的相应的解析式代入不等式中,分别求出相应的解集,然后求出两解集的并集即为原不等式的解集.
解答:解:(I)∵对于f(x)定义域内的任意实数x,都有f(-x)+f(x)=0,
∴f(-x)=-f(x),
故f(x)在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数(2分)
∵当x>0时,f(x)=x
2-2,
设x<0,所以-x>0,
∴f(-x)=-f(x)=x
2-2,即f(x)=2-x
2,
则
;(6分)
(II)∵当x>0时,x
2-2<x,
化简得(x-2)(x+1)<0,
解得:-1<x<2,
所以不等式的解集为0<x<2;
当x<0时,2-x
2<x,
化简得:(x-1)(x+2)>0,
解得:x>1或x<-2,
所以不等式的解集为x<-2,
综上,不等式f(x)<x的解集为{x|0<x<2或x<-2}.(10分)
点评:此题要求学生掌握奇函数的性质及确定方法,考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想,是一道中档题.