Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=6，点A_n(a_n，)

    在抛物线y²=x+1上，数列{b_n}中，点B_n(n，b_n)

    在过点(0，1)以(1，2)为方向向量的直线上．

    (Ⅰ)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

    (Ⅱ)若f(n)=，问是否存在k∈N，使f(k+27)=4f(k)成立，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由；

    (Ⅲ)对任意正整数n，不等式≤0恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

答案：解：(1)a₁=6, a_n+1=a_n+1.

∴a_n=6+(n-1)=n+5.

直线：y-1=2x  y=2x+1过B_n(n，b_n),

∴b_n=2n+1. 

(Ⅱ)f(n)=

当k为奇数时，

f(k+27)=2(k+27)+1=4f(k)=4(k+5),

∴2k=35, kN.

当k为偶数时，

f(k+27)=k+27+5=4f(k)=4(2k+1),

7k=28, ∴k=4满足条件.

(Ⅲ)由条件知：a≤

对n∈N*恒成立,

而f(n)=在[1，+∞)

上为增函数.

∴f(n)_min=f(1)=.

∴a≤=故a∈(0，) .